整除的性質(zhì)：

　　1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

　　2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

　　3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

　　4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

　　18、余數(shù)及其應(yīng)用

　　基本概念：

　　對任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。

　　余數(shù)的性質(zhì)：

　?、儆鄶?shù)小于除數(shù)。

　?、谌鬭、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。

　?、踑與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

　　④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。

　　19、余數(shù)、同余與周期

　　同余的定義：

　?、偃魞蓚€(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余。

　　②已知三個(gè)整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a同余于b模m。

　　同余的性質(zhì)：

　?、僮陨硇裕篴≡a(mod m)；

　?、趯ΨQ性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m)；

　?、蹅鬟f性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m)；

　?、芎筒钚裕喝鬭≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；

　　⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則a×c≡ b×d(mod m)；

　?、蕹朔叫裕喝鬭≡b(mod m)，則an≡bn(mod m)；

　?、咄缎?若a≡ b(mod m)，整數(shù)c，則a×c≡ b×c(mod m×c)；

　　關(guān)于乘方的預(yù)備知識：

　　①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b

　?、谌鬊=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

　　被3、9、11除后的余數(shù)特征：

　　①一個(gè)自然數(shù)M，n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡n(mod 9)或（mod 3）；

　　②一個(gè)自然數(shù)M，X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；

　　費(fèi)爾馬小定理：

　　如果p是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。

　　20、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用