【題-001】抽屜原理

有5個(gè)小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請(qǐng)你證明，這5個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。

【題-002】牛吃草：（中等難度）

一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi).如果10人淘水，3小時(shí)淘完；如5人淘水8小時(shí)淘完.如果要求2小時(shí)淘完，要安排多少人淘水？

【題-003】奇偶性應(yīng)用：（中等難度）

桌上有9只杯子，全部口朝上，每次將其中6只同時(shí)“翻轉(zhuǎn)”.請(qǐng)說明：無論經(jīng)過多少次這樣的“翻轉(zhuǎn)”，都不能使9只杯子全部口朝下。

【題-004】整除問題：（中等難度）

用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)整數(shù)，商40，余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)與余數(shù)的和是933，求被除數(shù)和除數(shù)各是多少？

【題-005】填數(shù)字：（中等難度）

請(qǐng)?jiān)谙聢D的每個(gè)空格內(nèi)填入1至8中的一個(gè)數(shù)字，使每行、每列、每條對(duì)角線上8個(gè)數(shù)字都互不相同．

【題-006】灌水問題：（中等難度）

公園水池每周需換一次水．水池有甲、乙、丙三根進(jìn)水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的順序輪流打開小1時(shí)，恰好在打開某根進(jìn)水管1小時(shí)后灌滿空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的順序輪流打開1小時(shí)，灌滿一池水比第一周少用了15分鐘；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的順序輪流打開1小時(shí)，比第一周多用了15分鐘．第四周他三個(gè)管同時(shí)打開，灌滿一池水用了2小時(shí)20分，第五周他只打開甲管，那么灌滿一池水需用________小時(shí)．

【題-007】　濃度問題：（中等難度）

瓶中裝有濃度為15%的酒精溶液1000克，現(xiàn)在又分別倒入100克和400克的A、B兩種酒精溶液，瓶中的濃度變成了14%．已知A種酒精溶液濃度是B種酒精溶液濃度的2倍，那么A種酒精溶液的濃度是百分之幾？

【題-008】水和牛奶：（中等難度）

一個(gè)賣牛奶的人告訴兩個(gè)小學(xué)生：這兒的一個(gè)鋼桶里盛著水，另一個(gè)鋼桶里盛著牛奶，由于牛奶乳脂含量過高，必須用水稀釋才能飲用．現(xiàn)在我把A桶里的液體倒入B桶，使其中液體的體積翻了一番，然后我又把B桶里的液體倒進(jìn)A桶，使A桶內(nèi)的液體體積翻番．最后，我又將A桶中的液體倒進(jìn)B桶中，使B桶中液體的體積翻番．此時(shí)我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)桶里盛有同量的液體，而在B桶中，水比牛奶多出1升．現(xiàn)在要問你們，開始時(shí)有多少水和牛奶，而在結(jié)束時(shí)，每個(gè)桶里又有多少水和牛奶？

【題-009】　巧算：（中等難度）

計(jì)算：

【題-010】隊(duì)形：（中等難度）

做少年廣播體操時(shí)，某年級(jí)的學(xué)生站成一個(gè)實(shí)心方陣時(shí)（正方形隊(duì)列）時(shí)，還多10人，如果站成一個(gè)每邊多1人的實(shí)心方陣，則還缺少15人.問：原有多少人？

【題-011】計(jì)算：（中等難度）

一個(gè)自然數(shù)，如果它的奇數(shù)位上各數(shù)字之和與偶數(shù)位上各數(shù)字之和的差是11的倍數(shù)，那么這個(gè)自然數(shù)是11的倍數(shù)，例如1001，因?yàn)?+0=0+1，所以它是11的倍數(shù)；又如1234，因?yàn)?+2-（3＋1）=2不是11的倍數(shù)，所以1234不是11的倍數(shù).問：用0、1、2、3、4、5這6個(gè)數(shù)字排成不含重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中有幾個(gè)是11的倍數(shù)？

【題-012】分?jǐn)?shù)：（中等難度）

某學(xué)校的若干學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中所得分?jǐn)?shù)之和是8250分.第一、二、三名的成績(jī)是88、85、80分，得分最低的是30分，得同樣分的學(xué)生不超過3人，每個(gè)學(xué)生的分?jǐn)?shù)都是自然數(shù).問：至少有幾個(gè)學(xué)生的得分不低于60分？

【題-013】四位數(shù)：（中等難度）

某個(gè)四位數(shù)有如下特點(diǎn)：①這個(gè)數(shù)加1之后是15的倍數(shù)；②這個(gè)數(shù)減去3是38的倍數(shù)；③把這個(gè)數(shù)各數(shù)位上的數(shù)左右倒過來所得的數(shù)與原數(shù)之和能被10整除，求這個(gè)四位數(shù).

【題-014】行程：（中等難度）

王強(qiáng)騎自行車上班，以均勻速度行駛.他觀察來往的公共汽車，發(fā)現(xiàn)每隔12分鐘有一輛汽車從后面超過他，每隔4分鐘迎面開來一輛，如果所有汽車都以相同的勻速行駛，發(fā)車間隔時(shí)間也相同，那么調(diào)度員每隔幾分鐘發(fā)一輛車？

【題-015】跑步：（中等難度）

狗跑5步的時(shí)間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米，馬開始追它。問：狗再跑多遠(yuǎn)，馬可以追上它？

【題-016】排隊(duì)：（中等難度）

有五對(duì)夫婦圍成一圈，使每一對(duì)夫婦的夫妻二人動(dòng)相鄰的排法有（ ）

【題-017】分?jǐn)?shù)方程：（中等難度）

若干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個(gè)同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小明從每支盒子里取出一個(gè)小球，然后把這些小球再放到小球數(shù)最少的盒子里去。再把盒子重排了一下．小聰回來，仔細(xì)查看，沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過小球和盒子．問：一共有多少只盒子?

【題-018】自然數(shù)和：（中等難度）

在整數(shù)中，有用2個(gè)以上的連續(xù)自然數(shù)的和來表達(dá)一個(gè)整數(shù)的方法．例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有兩個(gè)用2個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)的和來表達(dá)它的方法.

【題-019】準(zhǔn)確值：（中等難度）

【題-020】巧求整數(shù)部分題目：（中等難度）

(第六屆小數(shù)報(bào)決賽)A 8.8 8.98 8.998 8.9998 8.99998，A的整數(shù)部分是_________.

【題目答案】

【題-001解答】抽屜原理

首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個(gè)抽屜.把每人的3枚棋作為一組當(dāng)作一個(gè)蘋果，因此共有5個(gè)蘋果.把每人所拿3枚棋子按其顏色配組情況放入相應(yīng)的抽屜.由于有5個(gè)蘋果，比抽屜個(gè)數(shù)多，所以根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的

【題-002解答】牛吃草

這類問題，都有它共同的特點(diǎn)，即總水量隨漏水的延長(zhǎng)而增加.所以總水量是個(gè)變量.而單位時(shí)間內(nèi)漏進(jìn)船的水的增長(zhǎng)量是不變的.船內(nèi)原有的水量（即發(fā)現(xiàn)船漏水時(shí)船內(nèi)已有的水量）也是不變的量.對(duì)于這個(gè)問題我們換一個(gè)角度進(jìn)行分析。

如果設(shè)每個(gè)人每小時(shí)的淘水量為"1個(gè)單位".則船內(nèi)原有水量與3小時(shí)內(nèi)漏水總量之和等于每人每小時(shí)淘水量×?xí)r間×人數(shù)，即1×3×10＝30.

船內(nèi)原有水量與8小時(shí)漏水量之和為1×5×8=40。

每小時(shí)的漏水量等于8小時(shí)與3小時(shí)總水量之差÷時(shí)間差，即（40-30）÷（8-3）=2（即每小時(shí)漏進(jìn)水量為2個(gè)單位，相當(dāng)于每小時(shí)2人的淘水量）。

船內(nèi)原有的水量等于10人3小時(shí)淘出的總水量-3小時(shí)漏進(jìn)水量.3小時(shí)漏進(jìn)水量相當(dāng)于3×2=6人1小時(shí)淘水量.所以船內(nèi)原有水量為30-（2×3）=24。

如果這些水（24個(gè)單位）要2小時(shí)淘完，則需24÷2＝12（人），但與此同時(shí)，每小時(shí)的漏進(jìn)水量又要安排2人淘出，因此共需12+2＝14（人）。

從以上這兩個(gè)例題看出，不管從哪一個(gè)角度來分析問題，都必須求出原有的量及單位時(shí)間內(nèi)增加的量，這兩個(gè)量是不變的量.有了這兩個(gè)量，問題就容易解決了。

【題-003解答】奇偶性應(yīng)用

要使一只杯子口朝下，必須經(jīng)過奇數(shù)次"翻轉(zhuǎn)".要使9只杯子口全朝下，必須經(jīng)過9個(gè)奇數(shù)之和次"翻轉(zhuǎn)".即"翻轉(zhuǎn)"的總次數(shù)為奇數(shù).但是，按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)6只杯子，無論經(jīng)過多少次"翻轉(zhuǎn)"，翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)只能是偶數(shù)次.因此無論經(jīng)過多少次"翻轉(zhuǎn)"，都不能使9只杯子全部口朝下?！啾怀龜?shù)=21×40+16=856。

答：被除數(shù)是856，除數(shù)是21。

【題-004解答】整除問題

∵被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，

即被除數(shù)=除數(shù)×40+16。

由題意可知：被除數(shù)+除數(shù)=933-40-16=877，

∴（除數(shù)×40+16）+除數(shù)=877，

∴除數(shù)×41=877-16，

除數(shù)=861÷41，

除數(shù)=21，

∴被除數(shù)=21×40+16=856。

答：被除數(shù)是856，除數(shù)是21

【題-005解答】填數(shù)字：

解此類數(shù)獨(dú)題的關(guān)鍵在于觀察那些位置較特殊的方格(對(duì)角線上的或者所在行、列空格比較少的)，選作突破口．本題可以選擇兩條對(duì)角線上的方格為突破口，因?yàn)樗鼈兺瑫r(shí)涉及三條線，所受的限制最嚴(yán)，所能填的數(shù)的空間也就最小．

副對(duì)角線上面已經(jīng)填了2，3，8，6四個(gè)數(shù)，剩下1，4，5和7，這是突破口．觀察這四個(gè)格，發(fā)現(xiàn)左下角的格所在的行已經(jīng)有5，所在的列已經(jīng)有1和 4，所以只能填7．然后，第六行第三列的格所在的行已經(jīng)有5，所在的列已經(jīng)有4，所以只能填1．第四行第五列的格所在的行和列都已經(jīng)有5，所以只能填4，剩下右上角填5．

再看主對(duì)角線，已經(jīng)填了1和2，依次觀察剩余的6個(gè)方格，發(fā)現(xiàn)第四行第四列的方格只能填7，因?yàn)榈谒男泻偷谒牧幸呀?jīng)有了5，4，6，8，3．再看第五行第五列，已經(jīng)有了4，8，3，5，所以只能填6．

此時(shí)似乎無法繼續(xù)填主對(duì)角線的格子，但是，可觀察空格較少的行列，例如第四列已經(jīng)填了5個(gè)數(shù)，只剩下1，2，5，則很明顯第六格填2，第八格填1，第三格填5．此時(shí)可以填主對(duì)角線的格子了，第三行第三列填8，第二行第二列填3，第六行第六列填4，第七行第七列填5．

繼續(xù)依次分析空格較少的行和列(例如依次第五列、第三行、第八行、第二列……)，可得出結(jié)果如下圖．

【題-006解答】灌水問題：

如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的順序輪流打開1小時(shí)，恰好在打開丙管1小時(shí)后灌滿空水池，則第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的順序輪流打開1小時(shí)，應(yīng)在打開甲管1小時(shí)后灌滿一池水．不合題意．

如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的順序輪流打開1小時(shí)，恰好在打開乙管1小時(shí)后灌滿空水池，則第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的順序輪流打開1小時(shí)，應(yīng)在打開丙管45分鐘后灌滿一池水；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的順序輪流打開1小時(shí)，應(yīng)在打開甲管后15分鐘灌滿一池水．比較第二周和第三周，發(fā)現(xiàn)開乙管1小時(shí)和丙管45分鐘的進(jìn)水量與開丙管、乙管各1小時(shí)加開甲管15分鐘的進(jìn)水量相同，矛盾．

所以第一周是在開甲管1小時(shí)后灌滿水池的．比較三周發(fā)現(xiàn)，甲管1小時(shí)的進(jìn)水量與乙管45分鐘的進(jìn)水量相同，乙管30分鐘的進(jìn)水量與丙管1小時(shí)的進(jìn)水量相同．三管單位時(shí)間內(nèi)的進(jìn)水量之比為3:4:2．

【題-007解答】　濃度問題

【題-008解答】水和牛奶

【題-009解答】　巧算：

本題的重點(diǎn)在于計(jì)算括號(hào)內(nèi)的算式：

這個(gè)算式不同于我們常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的地方在于每一項(xiàng)的分子依次成等差數(shù)列，而非常見的分子相同、或分子是分母的差或和的情況．所以應(yīng)當(dāng)對(duì)分子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使之轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式．

法一：

觀察可知5=2+3，7=3+4，……即每一項(xiàng)的分子都等于分母中前兩個(gè)乘數(shù)的和，所以

【題-010解答】 隊(duì)形

當(dāng)擴(kuò)大方陣時(shí)，需補(bǔ)充10+15人，這25人應(yīng)站在擴(kuò)充的方陣的兩條鄰邊處，形成一層人構(gòu)成的直角拐角.補(bǔ)充人后，擴(kuò)大的方陣每邊上有（10+15+1）÷2=13人.因此擴(kuò)大方陣共有13×13=169人，去掉15人，就是原來的人數(shù)

169-15=154人

【題-011解答】計(jì)算答案：

用１．２．３．４．５組成不含重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，

，它能被11整除，并設(shè)a1+a3+a5≥a2+a4+a6，則對(duì)某一整數(shù)k≥0，有：

a1+a3+a5-a2-a4-a6=11k （*）

也就是：

a1+a2+a3+a4+a5+a6=11k+2（a2+a4+a6）

15=0+1+2+3+4+5=11k+2（a2+a4+a6） （**）

由此看出k只能是奇數(shù)

由（*）式看出，0≤k<2 ，又因?yàn)閗為奇數(shù)，所以只可能k=1，但是當(dāng)k=1時(shí)，由（**）式看出a2+a4+a6=2.

但是在0、1、2、3、4、5中任何三個(gè)數(shù)之和也不等于2，可見k≠1.因此（*）不成立.

對(duì)于a2＋a4＋a6＞a1＋a3＋a5的情形，也可類似地證明（a2＋a4＋a6）-（a1＋a3＋a5）不是11的倍數(shù).

根據(jù)上述分析知：用0、1、2、3、4、5不能組成不包含重復(fù)數(shù)字的能被11整除的六位數(shù).

【題-012解答】 分?jǐn)?shù)：（中等難度）

除得分88、85、80的人之外，其他人的得分都在30至79分之間，其他人共得分：8250-（88＋85＋80）=7997（分）.

為使不低于60分的人數(shù)盡量少，就要使低于60分的人數(shù)盡量多，即得分在30～59分中的人數(shù)盡量多，在這些分?jǐn)?shù)上最多有3×（30＋31＋…＋59）= 4005分（總分），因此，得60～79分的人至多總共得7997-4005=3992分.

如果得60分至79分的有60人，共占分?jǐn)?shù)3×（60+61+ …+ 79）= 4170，比這些人至多得分7997-4005= 3992分還多178分，所以要從不低于60分的人中去掉盡量多的人.但顯然最多只能去掉兩個(gè)不低于60分的（另加一個(gè)低于60分的，例如，178=60＋60＋58）.因此，加上前三名，不低于60分的人數(shù)至少為61人.

【題-013解答】四位數(shù)：（中等難度）　四位數(shù)答案：

這表明m=27、37、47；32、42、52.（因?yàn)?8m的尾數(shù)為6）

又因?yàn)?8m＋3=15k-1（m、k是正整數(shù)）所以38m+4=15k.

由于38m的個(gè)位數(shù)是6，所以5|（38m＋4），

因此38m+4=15k等價(jià)于3|（38m＋4），即3除m余1，因此可知m=37，m=52.

所求的四位數(shù)是1409，1979.

【題-014解答】 行程答案：

汽車間隔距離是相等的，列出等式為：（汽車速度-自行車速度）×12=（汽車速度+自行車速度）×4

得出：汽車速度=自行車速度的2倍.　汽車間隔發(fā)車的時(shí)間=汽車間隔距離÷汽車速度=（2倍自行車速度-自行車速度）×12÷2倍自行車速度=6（分鐘）.

【題-015解答】跑步：（中等難度）

根據(jù)"馬跑4步的距離狗跑7步"，可以設(shè)馬每步長(zhǎng)為7x米，則狗每步長(zhǎng)為4x米。

根據(jù)"狗跑5步的時(shí)間馬跑3步"，可知同一時(shí)間馬跑3*7x米＝21x米，則狗跑5*4x＝20x米。

可以得出馬與狗的速度比是21x：20x＝21：20

根據(jù)"現(xiàn)在狗已跑出30米"，可以知道狗與馬相差的路程是30米，他們相差的份數(shù)是21-20＝1，現(xiàn)在求馬的21份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630米

【題-016解答】排隊(duì)：（中等難度）

根據(jù)乘法原理，分兩步：

第一步是把5對(duì)夫妻看作5個(gè)整體，進(jìn)行排列有5×4×3×2×1＝120種不同的排法，但是因?yàn)槭菄梢粋€(gè)首尾相接的圈，就會(huì)產(chǎn)生5個(gè)5個(gè)重復(fù)，因此實(shí)際排法只有120÷5＝24種。

第二步每一對(duì)夫妻之間又可以相互換位置，也就是說每一對(duì)夫妻均有2種排法，總共又2×2×2×2×2＝32種

綜合兩步，就有24×32＝768種

【題-017解答】分?jǐn)?shù)方程：（中等難度）

設(shè)原來小球數(shù)最少的盒子里裝有a只小球，現(xiàn)在增加了b只，由于小聰沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過小球和盒子，這說明現(xiàn)在又有了一只裝有a個(gè)小球的盒子，而這只盒子里原來裝有(a+1)個(gè)小球．

同樣，現(xiàn)在另有一個(gè)盒子裝有(a+1)個(gè)小球，這只盒子里原來裝有(a+2)個(gè)小球．

類推，原來還有一只盒子裝有(a+3)個(gè)小球，(a+4)個(gè)小球等等，故原來那些盒子中裝有的小球數(shù)是一些連續(xù)整數(shù)．

現(xiàn)在變成：將42分拆成若干個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個(gè)加數(shù)?

因?yàn)?2=6×7，故可以看成7個(gè)6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6個(gè)6，從而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7個(gè)加數(shù)；

又因?yàn)?2=14×3，故可將42：13+14+15，一共有3個(gè)加數(shù)；

又因?yàn)?2=21×2，故可將42=9+10+11+12，一共有4個(gè)加數(shù)．

所以原問題有三個(gè)解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子.

【題-018解答】自然數(shù)和：（中等難度）

(1) 請(qǐng)寫出只有3種這樣的表示方法的最小自然數(shù)．

(2)請(qǐng)寫出只有6種這樣的表示方法的最小自然數(shù)．

關(guān)于某整數(shù)，它的"奇數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)減1"，就是用連續(xù)的整數(shù)的和的形式來表達(dá)種數(shù).

根據(jù)（1）知道，有3種表達(dá)方法，于是奇約數(shù)的個(gè)數(shù)為3+1=4，對(duì)4分解質(zhì)因數(shù)4=2×2，最小的15(1、3、5、15)；

有連續(xù)的2、3、5個(gè)數(shù)相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5；

根據(jù)(2)知道，有6種表示方法，于是奇數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)為6+1=7，最小為729(1、3、9、27、81、243、729)，有連續(xù)的2,3、6、9、10、27個(gè)數(shù)相加：

364+365；242+243+244；119+120+…+124；77+78+79+…+85；36+37+…+45；14+15+…+40

【題-019解答】準(zhǔn)確值：（中等難度）

【題-020解答】巧求整數(shù)部分題目：（中等難度）