應(yīng)某家長要求，再講一次等差數(shù)列

公式1：求和公式：等差數(shù)列求和=（首項+末項）×項數(shù)÷2，即：Sn=(a1+an)×n÷2；

公式2：通項公式：第n項=首項+（n-1）×公差，即：an=a1+(n-1)×d；

公式3：項數(shù)公式：項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1，即n=(an-a1)÷d+1。

上述三個公式必須掌握

此外，還有一個中項定理，也最好掌握：

中項定理：對于作意一個項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列來說，中間一項的值等于所有項的平均數(shù)，也等于首項與末項和的一半；或者換句話說，各項和等于中間項乘以項數(shù)。

例1：建筑工地有一批磚，碼成如右圖形狀，最上層兩塊磚，第2層6塊磚，第3層10塊磚…，依次每層都比其上面一層多4塊磚，已知最下層2106塊磚，問中間一層多少塊磚？這堆磚共有多少塊？

解：如果我們把每層磚的塊數(shù)依次記下來，2，6，10，14，… 容易知道，這是一個等差數(shù)列.

方法1：

a1=2， d=4， 利用公式求出an=2106，

則：n=（an-a1）÷d+1=527

這堆磚共有則中間一項為 a264=a1+（264-1）×4=1054.

方法2：（a1+an）×n÷2=（2+2106）×527÷2=555458（塊）.

則中間一項為（a1+an）÷2=1054

a1=2， d=4， an=2106，

這堆磚共有 1054×527=555458（塊）.

此題利用中項定理和等差數(shù)列公式均可解！

例2：求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差.

解：根據(jù)題意可列出算式：

（2+4+6+8+…+2000）-（1+3+5+…+1999）

解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一個公差為2的等差數(shù)列，1，3，5，…，1999也是一個公差為2的等差數(shù)列，且項數(shù)均為1000，所以：

原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2

=1000.

解法2：注意到這兩個等差數(shù)列的項數(shù)相等，公差相等，且對應(yīng)項差1，所以1000項就差了1000個1，即

原式=1000×1=1000.

例3：100個連續(xù)自然數(shù)（按從小到大的順序排列）的和是8450，取出其中第1個，第3個…第99個，再把剩下的50個數(shù)相加，得多少？

解：

方法1：要求和，我們可以先把這50個數(shù)算出來.

100個連續(xù)自然數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，且和為8450，則：

由題可知：（ 首項+末項）×100÷2=8450，求出：（ 首項+末項）=169。

又因為末項比首項大99，所以，末項=首項+99，根據(jù) （首項+末項）=169得到：

首項+末項+99=169，解出：首項=35.

因此，剩下的50個數(shù)為：36，38，40，42，44，46…134.這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，和為（36+134）×50÷2=4250.

方法2：我們考慮這100個自然數(shù)分成的兩個數(shù)列，這兩個數(shù)列有相同的公差，相同的項數(shù)，且剩下的數(shù)組成的數(shù)列比取走的數(shù)組成的數(shù)列的相應(yīng)項總大1，因此，剩下的數(shù)的總和比取走的數(shù)的總和大50，又因為它們相加的和為8450.所以：

剩下的數(shù)總和+取走的數(shù)的總和=8450；

剩下的數(shù)總和-取走的數(shù)的總和=50。

求出：剩下的數(shù)的總和為（8450+50）÷2=4250.

（利用兩數(shù)和已知，兩數(shù)差已知，求兩數(shù))

附加題：x+y+z=1993有多少組正整數(shù)解.

朋友們，此題留給大家解一下，答案見最下面。

答案：l+2+3+…+1991=1983036